Makalah Konsep Dasar Matematika

PENALARAN MATEMAIKA 

BAB I

PENALARAN MATEMATIKA

A. Pengertian Logika

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika Matematika atau Logika Simbol  ialah logika  yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

B.      KALIMAT PERNYATAAN

Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Pernyataan atau sering diistilahkan dengan kalimat deklaratif merupakan kalimat yang dapat ditentukan nilai dan kebenarannya, yaitu bernilai benar atau salah tetapi tidak bernilai benar dan salah sekaligus. Ada dua cara untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, yaitu sebagai berikut. Pertama, menentukan nilai pernyataan dengan cara empiris. Cara empiris merupakan nilai kebenaran kenyataan atau fakta pada saat tertentu dan ditempat tertentu. Misalnya, tadi pagi terjadi kecelakaan di depan porles Simak-Simak. Kedua, menentukan nilai kebenaran dengan cara nonempiris. Cara nonempiris merupakan nilai kebenaran yang bersifat mutlak. Misalnya dalam satu minggu ada tujuh hari.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :

a.  Ki Hajar Dewantoro adalah menteri pendidikan pertama

b.  Jika x = 5, maka 2x = 10

c.  0 adalah bilangan cacah

Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :

a.    Kelereng berbentuk segitiga

b.   1 – 4 = 3

Contoh 3 (Bukan pernyataan) :

a.      x + 3 = 0 

b.      Ambilkan sapu itu!

Soal Latihan

1.  Tulislah masing-masing tiga buah contoh

a. Penyataan yang benar

b. Pernyataan yang salah

c. Bukan pernyataan

2.  Tentukan kalimat Pernyataan yang bernilai Benar (B) dan Salah (S)!

a.    Ibu kota Indonesia adalah Jakarta

b.   Ada 24 jam dalam sehari

c.    81 habis dibagi 8

d.   Bunga anggrek berwarna putih

e.    Presiden RI ketiga adalah Megawati

C.    KALIMAT TERBUKA

Pengertian Kalimat Terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel. Dalam matematika yang dimaksud dengan kalimat terbuka adalah kalimat yang belum mempunyai nilai kebenaran. Dalam kehidupan sehari-hari kalimat terbuka biasanya berbentuk kalimat tanya atau kalimat perintah. Sedangkan dalam matematika kalimat terbuka berbentuk persamaan atau pertidaksamaan.

Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Beberapa istilah yang perlu diketahui.

1.    Variabel

Huruf x disebut variable. Sebuah variable mewakili sembarang anggota dalam semesta pembicaraan ( himpunan pengganti ).

Misalkan himpunan pengganti dari x² – 5x + 4 = 0 adalah:

{ 1 , 2 , 5 } maka :

x = 1 =>   1² – 5.1 + 4 = 0 ( benar )

x = 2 =>   2² – 5.2 + 4 = 0 ( salah )

x = 5 =>   5² – 5.5 + 4 = 0 ( salah )

Pengganti variable yang menyebabkan kalimat terbuka bernilai benar disebut penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaian itu disebut himpunan penyelesaian.

Pada contoh diatas HP = { 1 }

2.    Konstanta

Pada kalimat ”x² – 5x + 4 = 0 ”, bilangan-bilangan 1 , – 5 , 4 dan 0  disebut konstanta. Suatu konstanta hanya mewakili anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Contoh Kalimat Terbuka

                 Contoh 1    : Diketahui 7x + 4 = 18. Tentukan nilai kebenarannya

                 Penyelesaian :  7x + 4 = 18

                                    Untuk x = 2 maka :

ð  7.2 + 4 = 18

ð  14 + 4 =18

 Jadi untuk x= 2 bernilai benar

    Contoh 2  : Diketahui kalimat terbuka x² – 3x – 18 ≤ 0. Tentukan  

nilai kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai  kebenaran

untuk x = – 4.

     Penyelesaian:  Kalimat terbuka: x² – 3x – 18 ≤ 0.

                                          Untuk x = 5 maka:

  => x² – 3x – 18 ≤ 0

  => 5² – 3.5 – 18 ≤ 0

  => 25 – 15 – 18 ≤ 0

  => –8 ≤ 0

       Jadi untuk x = 5 bernilai benar.

                   Untuk x = – 4 maka:

         => x² – 3x – 18 ≤ 0

         => (– 4)² – 3.(– 4) – 18 ≤ 0

         => 16 + 12 - 18 ≤ 0

         => 10 ≤ 0

       Jadi untuk x = – 4 bernilai salah.

Soal Latihan

1.      Diketahui x³ + 3x² – 2x – 4 ≤ 0. Tentukan  nilai kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai kebenaran untuk x = 4.

2.      Diketahui 15x - 9 = 20. Tentukan nilai kebenarannya

D.   INGKARAN ATAU NEGASI

Ingkaran atau Negasi adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya. Ingkaran digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan.

Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut

Tabel Nilai Kebenaran Negasi atau ingkaran

P	~p
B	S
S	B

Apabila p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Apabila p adalah suatu pernyataaan yang bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Ingkaran p ditulis dengan ~p, dibaca “ingkaran p” atau “negasi p” atau “bukan / tidak p”

Cara menentukan ingkaran dari suatu pernyataan adalah dengan menambah kata:

·         Tidak benar bahwa….

·         Tidak…

·         Bukan….

Contoh 1 : Jika pernyataan  p: Jakarta ibu kota Indonesia (B)

       ~p : Jakarta Bukan ibu kota Indonesia (S)

          Atau ~p :Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota

  Indonesia (S)

Contoh 2 : Jika pernyataan p  : 17 adalah angka bilangan prima (B)

      ~p  : 17 bukan bilangan prima (S)

         Atau ~p  : Tidak benar bahwa 17 adalah angka         bilangan prima (S)

Latihan Soal

1.      Tentukan Ingkaran atau negasi dari:

a.       Harga BBM naik

b.      Bangau adalah burung

c.       2 + 2 = 5

2.      Tentukan negasi dari setiap kalimat berikut:

a.       Semua kerbauku mandi disungai

b.      Beberapa kambingku ada dipadang rumput

c.       Hanya seekor itikku belum masuk kandang

E.       KONJUNGSI

KONJUNGSI : Konjungsi adalah kalimat majemuk yang terdiri dari dua pernyataan misalnya p dan q yang digabungkan dengan kata hubungkan dengan kata hubung logika “dan” dinotasikan “p_^q”.

 Pernyataan konjungsi “p_^q” akan bernilai benar bila kedua-duanya benar nilai kebenaran dari konjungsi dapat ditanyakan, dengan  tabel kebenaran di bawah ini :

p	q	p ᴧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh 1 :  p : Amira cantik

                   q  : Amira pandai

  maka  p ᴧ q : Amira cantik dan pandai

Contoh 2 : p : 2 + 3 > 5 (S)

      q  : 5 - 2 = 3 (B)

  maka p ᴧ q : 2 + 3 > 5 dan 5 - 2 = 3 (S)

Soal Latihan:

1.      Buatlah bentuk konjungsi dari p dan q, serta tentukan nilai

kebenarannya!

a.       p:7 adalah bilangan prima

q:7 adalah bilangan ganjil

b.      p: -2 + 3 = 1

q:  6 – 4 < 2

c.       p : 3 > -7
q : 3 < 5

2.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

a.       3x - 2x = x dan 3 adalah bilangan prima

b.      2 + 5 = 7 dan 7 adalah bilangan genap

NEGASI SUATU KONJUNGSI

~(p ˄ q) =  ~p ˅ ~q

Negasi suatu konjungsi p  ∧ q adalah ~(p ˄ q) dengan ketentuan seperti dibawah ini :

Sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:

p	Q	~ p	~ q	p ˄  q	~ (p ˄ q)	~p ˅ ~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

Contoh 1 : Tentukan ingkaran dari  pernyataan konjungsi berikut:

                              3 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan ganjil.

            penyelesaian : p =  3  adalah bilangan prima
                                    q =  3 adalah bilangan ganjil

                                  Ingkaran dari konjungsi p dan q adalah :

                                    ~p  =  3  bukan bilangan prima
                                   ~q  =  3  bukan bilangan ganjil

Maka ingkaran dari konjungsi 3 adalah bilangan prima dan 3   adalah bilangan ganjil = 3 bukan bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.

Contoh 2 : Tentukan ingkaran dari  pernyataan konjungsi berikut: 

                              Budi berhidung mancung dan berambut lurus.

penyelesaian : p  = Budi berhidung mancung
                        q  = Budi berambut lurus

                       Ingkaran dari konjungsi p dan q adalah :

                        ~p  =  Budi tidak berhidung mancung
                        ~q  =  Budi tidak berambut lurus

Maka ingkaran konjungsi : Budi berhidung mancung dan berambut lurus =  Budi tidak berhidung mancung atau tidak berambut lurus.

Soal Latihan :

1.      Tentukan ingkaran dari pernyataan 17 merupakan bilangan prima dan 10 merupakan bilangan genap ?

2.      Tentukan ingkaran dari: Persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku dan persegi memiliki 4 sudut yang sama besar?

F.     DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ATAU” yang disimbolkan dengan “v” . disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “p v q” yang dibaca “p atau q” .

Disjungsi “p atau q” benilai salah ,jika p dan q keduanya salah . dalam kondisi yang lainnya disjungsi “p v q” bernilai benar .

Tabel kebenaran disjungsi :

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh 1: Diketahui p : Harga BBM naik (B)

                q : Ongkos naik (B)

Nyatakan bentuk logika berikut dalam kalimat !

Penyelesaian:    p v q : Harga BBM naik atau ongkos naik (B)

Contoh 2 : Diketahui p : Harimau merupakan hewan herbivora (S)

                                   q : Sapi merupakan pemakan rumput (B)

Penyelesaian:    p v q    : Harimau merupakan hewan karnivora atau sapi merupakan pemakan rumput (B)

            Soal Latihan :

1.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

a.       7 adalah bilangan ganjil atau 24 : 3 = 8

b.      3 x 2 = 5 atau 3 x 5 = 15

2.      Diketahui p : Mahasiswa berdemonstrasi

           q : Lalu lintas macet

tentukan kalimat disjungsi dari pernyataan diatas!

NEGASI DISJUNGSI

Jika diketahui pernyataan disjungsi p atau q :

P v q ,ingkarannya ~ (p v q) = ~p ^ ~q

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut :

P	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	~p ^~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	s	B	B	S	B	B

Contoh 1 : Tentukan pernyataan negasi disjungsi berikut :

      p : Deo rajin belajar

      q : Deo rajin berolahraga

penyelesaian : Deo tidak rajin belajar dan tidak rajin berolahraga .

Contoh 2 : Tentukan pernyataan negasi disjungsi berikut :

       p : Matahari terbit dari timur (B)

                  q :  bulan terlihat disiang hari (S)

Penyelesaian : Matahari tidak terbit dari timur dan bulan tidak terlihat

disiang hari (S)

Soal latihan :

1.      Tentukan negasi dari pernyataan : persegi memiliki 4 sumbu simetris atau persegi mempunyai 4 titik sudut

2.      Tentukan negasi dari pernyataan : Belah ketupat memiliki 2 diagonal yang sama atau segitiga sama sisi memiliki 3 sisi yang sama besar

G.    IMPLIKASI ATAU KONDISIONAL

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI / PERNYATAAN BERSYARAT / KONDISIONAL / HYPOTHETICAL dengan notasi "=>".

Notasi tersebut dapat dibaca:

1.    Jika p maka q

2.    q jika p

3.    p adalah syarat cukup untuk q

4.    q adalah syarat perlu untuk p

Nilai kebenaran dari implikasi dinyatakan dengan tabel kebenaran dibawah ini :

Berdasarkan tabel diatas, Nilai kebenaran suatu implikasi tergantung pada nilai kebenaran dari pernyataan “p” dan pernyataan “q”. Implikasi bernilai salah apabila pernyataan tunggal (p) bernilai benar dan pernyataan (q) bernilai salah. Pada implikasi  “p => q”, pernyataan tunggal (p) disebut pendahulu/sebab (anteseden) dan pernyataan (q) disebut pengikut (consequent). Nama lain p disebut hipotesis dan q disebut konklusi (kesimpulan).

Contoh 1 : Diketahui  p : 3 + 5 = 6 (S)

                        q : Thailand ada di benua Afrika (S)

          p => q : jika 3 + 5 = 6 maka Thailand ada di benua Afrika (B)

Contoh 2 : Diketahui  p : 3 x 9 = 27 (B)

                                    q : lebah menghasilkan gula (S)

           p => q : jika 3 + 5 = 6 maka Thailand ada di benua Afrika (S)

Soal Latihan :

1.    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

a.       Jika batu adalah bagian dari makhluk hidup maka air merupakan gas

b.      Jika mobil beroda empat maka kereta api berhenti di terminal

2.      Diketahui p :  suhu mencapai 80°C

     q :  udara terasa panas

                        tentukan implikasi dari pernyataan diatas!

NEGASI SUATU IMPLIKASI

Perhatikan implikasi berikut ini :

JIKA Rano bekerja MAKA Rano mendapat gaji.

Pernyataan diatas berasal dari pernyataan p dan q

P: Rano bekerja

                        q: Rano mendapat gaji

negasi yang tepat dari implikasi diatas adalah “Rano bekerja DAN Rano tidak mendapat gaji.” Atau  “Rano bekerja TAPI  Rano tidak mendapat gaji.”

Contoh 1      :  Tentukan negasi Implikasi dari pernyataan dibawah ini!

JIKA segitiga sama sisi MAKA besar jumlah ketiga     sudutnya   adalah 180 derajat.”

Penyelesaian : “Segitiga sama sisi TETAPI besar jumlah ketiga sudutnya  adalah  tidak 180 derajat.

                                                            atau

                          “Segitiga sama sisi DAN besar jumlah ketiga sudutnya  adalah  tidak 180 derajat.

  Jadi, negasi dari p => q adalah p ^ ~q

Contoh 2  : Tuliskan negasi dari implikasi berikut ini!

a.    Jika harga beras tidak naik maka harga gula naik

b.    Jika saya puasa maka saya lapar

c.    Jika Ibu pergi belanja maka Andin akan memasak

Penyelesaian : Negasi dari implikasi itu adalah:

a.    Harga beras tidak naik dan harga gula tidak naik

b.    Saya puasa dan saya tidak lapar

c.    Ibu pergi belanja dan Andin tidak akan memasak

Untuk menentukan negasi dari suatu implikasi perhatikan kebenaranTabel berikut ini:

Tampak pada Tabel bahwa urutan nilai kebenaran dari “~ (p => q)” sama dengan urutan nilai kebenaran dari “p ^ ~q”. Hal ini dapat dikatakan negasi dari suatu Implikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi itu.

(p => q) = p Λ ~q

            Soal Latihan :

1.      Tentukan negasi dari implikasi berikut:

“Jika Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta Maka Ibukota  negara Malaysia adalah Kuala Lumpur”

2.      Tentukan negasi dari implikasi berikut:

“Jika 40 merupakan bilangan genap Maka 2 x 2 = 4”

H.      BIIMPLIKASI

Biimplikasi ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p⇔q”. Pernyataan biimplikasi “p⇔q” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah), sedangkan jika nilai kebenaran p dan q tidak sama maka p ⇔ q merupakan pernyataan yang salah.

Berikut merupakan Tabel kebenaran dari pernyataan biimplikasi.

Contoh 1:

1.    Perhatikan pernyataan berikut ini :

Diketahui : p : Cicak mempunyai sayap (S)

                   q : Cicak bisa terbang            (S)

Tentukan nilai kebenaran biimplikasi dari pernyataan diatas!

Penyelesaian :

p⇔q = Cicak mempunyai sayap jika dan hanya jika Cicak bisa terbang (B)

Contoh 2:

2.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

Diketahui :  p : 3 x 3= 6 (S)

       q : 2 adalah bilangan prima (B)

Tentukan nilai kebenaran biimplikasi dari pernyataan diatas!

Penyelesaian :

                        p⇔q = 3 x 3=6 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan prima (S).

Soal Latihan

1.      Perhatikan pernyataan berikut ini :

p : Sapi adalah hewan karnivora

q : kucing merupakan hewan amfibi

                 Tentukan kalimat biimplikasi dari pernyataan diatas!       

2.      Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut ini :

2+ 2 = 4 jika dan hanya jika 4 adalah bilangan ganjil.

Negasi Dari Suatu Biimplikasi

Perhatikan contoh biimplikasi berikut ini “7 merupakan suatu bilangan prima jika dan hanya jika 7 membagi habis 42”. Biimplikasi ini bernilai B karena dua pernyataan tunggalnya masing-masing bernilai B. Apabila masing-masing pernyataan tunggal tersebut dinegasikan dan dibentuk biimplikasi baru, yaitu “7 bukan merupakan suatu bilangan prima jika dan hanya jika 7 tidak membagi habis 42” maka biimplikasi baru ini bernilai B pula. Sehingga dapat disimpulkan bahwa biimplikasi baru ini bukan negasi dari biimplikasi semula.

Jika biimplikasi semula dinyatakan sebagai “p ⇔  q” maka  “~ (p ⇔  q)” bukan “~p ⇔ ~q”

Apakah negasi dari “p ⇔  q” ?

  Biimplikasi “p ⇔ q” adalah singkatan dari “(p => q) Λ (q => p)” maka

~ (p ⇔  q) = ~ [(p => q) Λ (q => p)]

  = ~ (p => q)  V  (q => p)   (negasi konjungsi)

  =     (p Λ ~q) V (q Λ ~p)       (negasi implikasi)

Negasi p ⇔  q = (p ˄ ~q) V (q ˄ ~p)

Untuk meyakinkan kebenaran dan penjabaran di atas kita periksa dengan tabel nilai kebenaran berikut ini

p	Q	~p	~q	p⇔q	~( p⇔q )	(p ˄ ~q)	(q ˄ ~p)	(p ˄ ~q) V (q ˄~p)
B	B	S	S	B	S	S	S	S
B	S	S	B	S	B	B	S	B
S	B	B	S	S	B	S	B	B
S	S	B	B	B	S	S	S	S

Tampak pada Tabel bahwa urutan nilai kebenaran dari ~(p ⇔  q) sama dengan urutan nilai kebenaran dari (p Λ ~q) V (q Λ ~p)

Contoh 1: Tuliskan negasi dari Biimplikasi berikut:

7 merupakan suatu bilangan prima jika dan hanya jika 7 membagi habis 42 .

Penyelesaian  : 7 merupakan suatu bilangan prima dan 7 tidak membagi habis 42, atau

 7 membagi habis 42 dan 7 bukan merupakan suatu bilangan prima.

Contoh 2         : Tuliskan negasi dari Biimplikasi berikut :

Semarang Ibu Kota RI jika dan hanya jika Yogyakarta    terletak di provinsi Jawa Tengah

Penyelesaian  : Semarang Ibu Kota RI dan Yogyakarta tidak terletak di  

  provinsi Jawa Tengah, atau Yogyakarta terletak di   

  provinsi Jawa Tengah dan Semarang bukan Ibu Kota RI

           

Soal Latihan :

1.      Tentukan negasi biimplikasi dari kalimat berikut !

Jakarta adalah Ibukota Singapura jika dan hanya jika Singapura adalah anggota ASEAN.

2.      Tentukan negasi biimplikasi dari kalimat berikut !

4 adalah faktor dari 2 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan genap.

I.       INVERS , KONVERS , DAN KONTRAPOSISI

Invers

Invers adalah pernyataan majemuk berbentuk ~p ⇒ ~q

Contoh : pernyataan : jika saya telat maka saya dihukum

Konvers

Konvers adalah pernyataan majemuk berbentuk q ⇒ p

Konvers : jika saya dihukum maka saya telat

Kontraposisi

Kontraposisi adalah pernyataan majemuk berbentuk ~q ⇒ ~p

Kontraposisi : jika saya dihukum maka saya tidak telat

Contoh 1:

1.      “Jika hati tenang maka kita senang.”

 Konvers                : Jika kita senang maka hati tenang.

Invers                   : jika hati tidak tenang maka kita tidak      senang

Kontraposisi       : Jika kita tidak senang maka hati tidak  tenang.

            Contoh 2:

1.      Jika planet Jupiter  merupakan planet  terbesar maka     planet Saturnus mempunyai cincin”

Konvers                 : Jika planet Saturnus mempunyai cincin   maka planet Jupiter merupakan planet  terbesar.

Invers                    : Jika planet jupiter tidak planet terbesar   maka planet Saturnus tidak memiliki cincin

Kontraposisi         : Jika planet Saturnus tidak mempunyai     cincin maka planet Jupiter tidak planet  terbesar

Soal Latihan

1.      Tentukan konvers, invers  dan kontraposisi dari kalimat berikut!

Jika hujan turun maka air sungai meluap

2.      Tentukan konvers, invers  dan kontraposisi dari kalimat berikut!

Jika lampu mati maka saya tidak dapat belajar

J.        PENARIKAN KESIMPULAN

Kesimpulan adalah intisari dari hasil eksperimen dan pernyataan mengenai hubungan hasil eksperimen dengan hipotesis, termasuk juga alasan-alasan yang menyebabkan hasil eksperimen hasil eksperimen berbeda dengan hipotesis. Jika perlu kesimpulannya dapat diakhiri dengan memberikan masukan-masukan untuk pengujian selanjutnya.

Setiap kesimpulan yang dibuat oleh peneliti semata-mata didasarkan pada data yang dikumpulkan dan diolah. Hasil penelitian tergantung pada kemampuan peneliti untuk menfasirkan secara logis data yang telah disusun secara sistematis menjadi ikatan pengertian sebab-akibat obyek penelitian. Setiap kesimpulan dapat diuji kembali validitasnya dengan jalan meneliti jenis dan sifat data dan model yang digunakan.

Penyusunan bab tentang kesimpulan ditujukan untuk memberi ringkasan tentang:

O Apa yang telah dipelajari (biasanya di bagian awal kesimpulan)

O  Apa saja yang masih harus dipelajari (arah penelitian berikutnya)

O  Hasil yang diperoleh dalam penelitian (evaluasi)

O  Manfaat, kelebihan, dan aplikasi temuan penelitian (evaluasi)

O  Rekomendasi

Kesimpulan seharusnya ringkas saja. Sebagai gambaran, pada banyak publikasi hasil penelitian bagian kesimpulan mencakup hingga 2,5% dari keseluruhan laporan.Kesimpulan yang terlalu panjang seringkali disebabkan memuat rincian yang tidak perlu.

Ada 3 kaidah penarikan kesimpulan:

1.    MODUS PONENS

premis 1 : p →q

premis 2 : p             ( modus ponens)

__________________

Kesimpulan: q

                  Contoh Soal:

premis 1 : Jika ibu datang maka adik akan senang

premis 2 : Ibu datang

__________________

Kesimpulan: Adik senang

2. MODUS TOLLENS

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

__________________

Kesimpulan: ~p

Contoh Soal:

premis 1 : Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

premis 2 : Ibu tidak memakai payung

___________________

Kesimpulan : Hari tidak hujan

3. SILOGISME

premis 1 : p→q

premis 2 : q → r            ( silogisme)

                        _________________

Kesimpulan:  p →r

Contoh Soal:

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan  pokok 

 naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang   

 tidak senang.

Kesimpulan:  Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak      senang.

Soal Latihan

1.      Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah ....

2.      Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
3. Ani tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah ...